Фамилия ваша исконно русская. Ее первоначальное значение — "прибывший из города Бершадь". Для общего развития сообщу, что Бершадь — это город, который находится на Украине в Винницкой области. Первое упоминание о городе было в 1459 году, поэтому можно предположить, что и ваша фамилия уходит корнями в Средневековье.
Насколько я знаю, фамилия Бершанский имеет еврейское происхождение. Она образована от названия деревни Боришин или Борщи. После присоединения западной части Белоруссии, Украины Прибалтики к России Екатерина II «приобрела» много евреев. Исторически у них не было своих фамилий. Для организации призыва в армию и для переписи населения (так называемые «Ревизские сказки») императрица была вынуждена дать всем евреям фамилии. Это производилось в соответствии с местом жительства, то есть жители д. Боришн получили фамилию Бершанский.
Фамилия "Бершанский" имеет исконно еврейские корни (Бер-Шаим [Бер-Хаим]). "Бер" — слово из идиша, по-немецки звучит как слово "Baer" — медведь, на древнегерманском наречии означает "голый, босяк" (из-за такого перевода в своё время было много антисемитских спекуляций). В традиционном переводе (בר/бар//бер на арамейском языке, на котором в давние времена говорили евреи, означает — «сын»); сейчас более в хождении слово "Бен" (сын). Шаим (Хаим) — еврейское имя, очень популярное у евреев-ашкенази. Так что перевод прост: Бер-Шаим — сын Шаима. Бершанский — русифицированное Бершаимский.
