Думается, что беспредметные рассуждения о "древней украинской фамилии" полная чушь, иже не было у украинцев фамилий с окончаниями на ш, как и "древней Украины" тоже никогда не было. А вот у мадьяр действительно полно фамилий с такими окончаниями (типа Месарош, Пушкаш, Палоташ). В основном это "профессиональные" фамилии, реже указывающие на некое место (не населенный пункт, а объект) или на признак. Но корень в лоб вычислить не могу, скорее всего в славянской языковой среде он исказился. Приходит на ум паайа (путь в широком смысле), пиац (рынок, тогда фамилия может означать что-то вроде "базарный", пайташ (приятель) и даже пайкош (шаловливый). А может, и нечто другое.